Enseignement > Calcul scientifique

Introduction au calcul scientifique et ses applications

Cours du Diplôme d'Informatique de l'ENS

Jean Ponce:
Romain Brette:

Le cours a lieu le mercredi en salle R de 8h45 à 10h45 à partir du 20 février. Le TP a lieu le vendredi en salle S de 17h30 à 18h30 à partir du 22 février.

Résumé du cours

Ce cours est une introduction aux méthodes numériques classiques du calcul scientifique. On y présente une méthodologie générale héritée de l'algèbre linéaire élémentaire, réduisant la grande majorité des calculs scientifiques à la résolution numérique de n équations linéaires en n inconnues. Cette méthodologie est illustrée par un grand nombre d'algorithmes et leur application à des problèmes concrets, tels que l'analyse statistique de données, la conception assistée par ordinateur (CAO), la robotique, la simulation dynamique, et le traitement d'images.

Le cours est destiné aux informaticiens et mathématiciens (en particulier pour la préparation de l’épreuve informatique de l’agrégation), ainsi qu’aux élèves d’autres disciplines scientifiques familiers avec les notions élémentaires de l'algèbre linéaire, de l'analyse, et de la programmation, telles qu'elles sont présentées en classes préparatoires scientifiques par exemple. SCILAB, un langage informatique consacré au calcul scientifique, est enseigné au début du cours et sert de plateforme de programmation pour les travaux dirigés.

Le cours est également utile pour la préparation des options B et C de l'agrégation de mathématiques.

Plan du cours :

• Introduction générale.
• Introduction à la programmation en SCILAB.
• Interpolation polynomiale et polynomiale par morceaux : méthode de Vandermonde ; polynômes de Lagrange, Newton, et Hermite; courbes de Bézier et splines. Applications à la CAO.
• Résolution de systèmes d'équations linéaires : systèmes diagonaux et triangulaires ; décomposition en matrices triangulaires inférieures et supérieures ; matrices creuses et bandées ; moindres carrés linéaires homogènes et non-homogènes. Applications à l'analyse statistique de données.
• Résolution de systèmes d'équations non-linéaires : méthode de Newton ; moindres carrés non linéaires --- méthodes de Newton, Gauss-Newton, et Levenberg-Marquardt. Applications au traitement d'images.
• Résolution de systèmes d'équations polynomiales : méthode de Laguerre ; séquences de Sturm ; résultants ; méthodes homotopiques. Applications à la robotique.
• Intégration d'équations différentielles ordinaires : méthode d'Euler ; méthode de Runge-Kutta ; méthodes implicites. Applications à la simulation dynamique.

Références:

• site de Scilab (avec notamment de la documentation)
• introduction à Scilab par Bruno Pinçon

Cours (diapos)

• Introduction.
• Interpolation polynômiale.
• 12 mars: cours de Monique Teillaud sur le calcul géométrique certifié.
• Interpolation polynômiale par morceau.
• Equations linéaires.
• Equations linéaires II.
• Moindres carrés.
• Equations non linéaires.
• Equations polynomiales.

TPs

• TP 1 - Introduction à Scilab.
• TP 2 - Interpolation polynômiale (script Scilab).
• TP 3 - Courbes de Bézier (script Scilab).
• TP 4 - Splines et systèmes triangulaires (script Scilab).
• TP 5 - Décomposition LU (script Scilab).
• TP 6 - Moindres carrés (script Scilab).
• TP 7 - Equations non linéaires (script Scilab 1, script Scilab 2).
• TP 8 - Racines de polynômes (script Scilab 1, script Scilab 2).

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Book: The Handbook of Neural Activity Measurement